Metriska rum

metriska rum

Metriska regler

Metriska rör

•

Topologi/Metriska rum

← Kompakthet&#;| Topologi| Separationsvillkor och Hausdorffrum →

Metriker

[redigera]

Definition: En metrik eller avståndsfunktiond på en mängd X är en funktion

som uppfyller följande tre villkor: För alla element x, y och z i X gäller att

(D1)
(D2) och
(D3)

Ett metriskt rum är ett par (X,d), där X är en mängd och d är en metrik på X.

Precis som för topologiska rum kommer vi ofta inte att skilja mellan en metrik (X,d) och dess underliggande mängd X, när vi i sammanhanget bara betraktar metriken d på X. Elementen i ett metriskt rum (det vill säga, i den underliggande mängden till det metriska rummet) kallas ofta punkter.

Kommentarer&#;rörande&#;kommutativ algebra:
Observera att värdemängden för funktionen d är en delmängd av mängden av ickenegativa reella tal, men inte nödvändigtvis behöver vara hela detta intervall. Det kan exempelvis mycket väl hända att alla avstånd i ett visst metriskt rum är (ickenegativa) rationella tal. Detta har en viss betydelsen för att logiken skall gå ihop, när vi litet senare i detta kapitel kommer att definiera de reella talen med hjäl • Kontinuerlig funktion Inom matematiken är enstaka kontinuerlig funktion en funktion som ej gör några plötsliga hopp och ej har några avbrott, således att nästan lika värden in garanterar nästan lika värden ut. För enstaka reellvärd funktion f tillsammans ett reellt argument är kapabel man precisera detta likt att man för varenda givet reellt tal x₀ där funktionen är definierad och varenda given noggrannhet kan existera säker vid att f(x) approximerarf(x₀) tillsammans minst denna noggrannhet på grund av alla x som ligger tillräckligt nära x₀. Begreppet kontinuitet existerar dock många använt inom olika delar av matematiken, även sådana där denna intuitiva förklaring inte således lätt låter sig omformuleras i ett stringent definition. Topologi existerar den kvist av matematiken som studera kontinuerliga funktioner i dess mest generella betydelse. var definieras ett funktion mellan två topologiska rum likt kontinuerlig, angående varje urbild av ett öppen mängd är öppen. Man är kapabel visa för att denna generella definition betyder samma sak som den vanliga definitionen för "vanliga" funktioner. Exempel [redigera \| redigera wikitext] En funktionf definierad vid en delmängd av dem reella talen är kontinuerlig i ett punkt x = x • Metriskt rum Inom matematiken är ett metriskt rum en mängdX tillsammans med en funktion sådan att dessa villkor gäller för alla element :^[1] Funktionen betecknas vanligen (som ovan) eller , och kallas metrik, eller avståndsfunktion (och dess värde avstånd). Om ekvivalensen i andra villkoret ersätts med en vänsterimplikation får man en pseudometrik. Genom att kombinera alla tre villkoren ser vi att alla avstånd måste vara icke-negativa, ty för alla gäller För punkter i med den vanliga metriken är villkoren (1)-(3) uppenbara. Villkor (2) motsvarar att två punkter och har avstånd om och endast om . Villkor (3) är triangelolikheten: för tre punkter och gäller att avståndet mellan och är mindre eller lika med summan av avståndet mellan och samt avståndet mellan och . Exempel [redigera \| redigera wikitext] Varje mängd kan göras till ett metriskt rum genom att den tilldelas den diskreta metriken : , klassen av alla kontinuerliga funktioner definierade på , blir med metriken (metriken inducerad från supremumnormen) ett metriskt rum. Med samma metrik är ett metriskt rum för alla kompakta interval Bjurfors huvudkontor Skapa huawei id är det apple två Elräkning elnät varför två Serneke lägenheter Hur många öar ingår Copyright ©bailfuel.pages.dev 2025

Kommentarer&#;rörande&#;kommutativ algebra:

Observera att värdemängden för funktionen d är en delmängd av mängden av ickenegativa reella tal, men inte nödvändigtvis behöver vara hela detta intervall. Det kan exempelvis mycket väl hända att alla avstånd i ett visst metriskt rum är (ickenegativa) rationella tal. Detta har en viss betydelsen för att logiken skall gå ihop, när vi litet senare i detta kapitel kommer att definiera de reella talen med hjäl

•

Kontinuerlig funktion

Inom matematiken är enstaka kontinuerlig funktion en funktion som ej gör några plötsliga hopp och ej har några avbrott, således att nästan lika värden in garanterar nästan lika värden ut. För enstaka reellvärd funktion f tillsammans ett reellt argument är kapabel man precisera detta likt att man för varenda givet reellt tal x₀ där funktionen är definierad och varenda given noggrannhet kan existera säker vid att f(x) approximerarf(x₀) tillsammans minst denna noggrannhet på grund av alla x som ligger tillräckligt nära x₀.

Begreppet kontinuitet existerar dock många använt inom olika delar av matematiken, även sådana där denna intuitiva förklaring inte således lätt låter sig omformuleras i ett stringent definition. Topologi existerar den kvist av matematiken som studera kontinuerliga funktioner i dess mest generella betydelse. var definieras ett funktion mellan två topologiska rum likt kontinuerlig, angående varje urbild av ett öppen mängd är öppen. Man är kapabel visa för att denna generella definition betyder samma sak som den vanliga definitionen för "vanliga" funktioner.

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

En funktionf definierad vid en delmängd av dem reella talen är kontinuerlig i ett punkt x = x

•

Metriskt rum

Inom matematiken är ett metriskt rum en mängdX tillsammans med en funktion sådan att dessa villkor gäller för alla element :^[1]

Funktionen betecknas vanligen (som ovan) eller , och kallas metrik, eller avståndsfunktion (och dess värde avstånd). Om ekvivalensen i andra villkoret ersätts med en vänsterimplikation får man en pseudometrik.

Genom att kombinera alla tre villkoren ser vi att alla avstånd måste vara icke-negativa, ty för alla gäller

För punkter i med den vanliga metriken är villkoren (1)-(3) uppenbara. Villkor (2) motsvarar att två punkter och har avstånd om och endast om . Villkor (3) är triangelolikheten: för tre punkter och gäller att avståndet mellan och är mindre eller lika med summan av avståndet mellan och samt avståndet mellan och .

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

Varje mängd kan göras till ett metriskt rum genom att den tilldelas den diskreta metriken :

, klassen av alla kontinuerliga funktioner definierade på , blir med metriken

(metriken inducerad från supremumnormen) ett metriskt rum. Med samma metrik är ett metriskt rum för alla kompakta interval